2の補数と小数の表し方｜負の数はどう入れるか【基本情報技術者試験科目A】

コンピュータが数を入れる箱は、桁数が決まっています。 8ビットなら 0 と 1 が8個で、マイナスの記号を書く場所はありません。それでも引き算はできます。この回では、負の数の作り方（2の補数）と、 小数がどう表されるかを確かめます。

出典：基本情報技術者試験シラバス Ver9.2　大分類1 基礎理論／中分類1 基礎理論／1. 離散数学

（2）数値の表現

負の数の表現（補数表現），小数の表現を理解する。

用語例

固定小数点数，単精度浮動小数点数，倍精度浮動小数点数，仮数，指数，BCD（Binary Coded Decimal：2 進化10 進），パック10 進数

Table of contents

負の数を入れる場所がない
2の補数の作り方 ── 反転して、1 を足す
引き算が足し算になる
小数は、小数点の右も重みで決まる
まとめ
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負の数を入れる場所がない

8ビットの箱には、0 と 1 が8個しか並びません。素直に考えると「左端の1ビットを符号にする」やり方が浮かびます。 0 ならプラス、1 ならマイナス、という決め方で、この1ビットを符号ビットといいます。ところが、これには具合の悪いところが2つあります。

左端を符号にすると困ること

0 が2つできる　… 0000 0000（＋0）と 1000 0000（−0）が別の並びになる

引き算の回路が別に要る　… 足し算とは別の手順で計算しなければならない

そこで使うのが2の補数で、これを使うと引き算がそのまま足し算になります。回路が1つで済むので、いまのコンピュータはこの表し方を使っています。

2の補数の作り方 ── 反転して、1 を足す

ある数のマイナスを作る手順は2つだけです。すべてのビットを反転（0 を 1 に、1 を 0 に）して、1 を足す。 2進数の足し算は、1 ＋ 1 が桁上がりして 10 になる点だけ10進数と違います。 8ビットで −5 を作ってみます。

5 は        0000 0101
すべて反転  1111 1010
1 を足す    1111 1011  ← これが −5

正しく作れたかは、縦に足して確かめます。

     0000 0101   5
＋   1111 1011   −5
  ─────────────
1    0000 0000   ← 左へはみ出した 1 が9桁目

9桁目は8ビットの箱に入らないので捨てます。残るのは 0000 0000＝0。足して 0 になれば、マイナスとして正しく作れています。

確かめ算に注目してください。5 と −5 を足すと 0 になりました。これが「マイナスとして正しい」ことの意味です。足して 0 になる相手を、その数の補数と呼びます。

⚠️ 8ビットの箱で表せるのは −128 〜 127 です。左端が 1 の並びはすべて負の数を表すので、正の数として使えるのは 127 までになります。

練習

8ビットの2の補数で −6 を表すと、どれですか。

引き算が足し算になる

12 − 5 を計算します。引き算のかわりに、12 に −5 を足します。

     0000 1100   12
＋   1111 1011   −5
  ─────────────
1    0000 0111   ← 9桁目は捨てる

残るのは 0000 0111＝7。12 − 5 ＝ 7 と一致します。

引き算の手順は要らず、マイナスを作って足すだけで答えが出ます。

2の補数の使い方

引く数のマイナスを作る。すべて反転して、1 を足します。元の数の桁数（8ビットなら8桁）のまま作ります。
足す。ふつうの2進数の足し算です。
決めた桁からあふれた分は捨てる。8ビットなら9桁目は無視します。箱に入らないからです。
左端が 1 なら、答えは負の数。いくつなのかを読むときは、もう一度反転して 1 を足します。出てきた数にマイナスを付けたものが答えです。

最後の「読むときはもう一度2の補数を取る」を忘れると、1111 1011 を 251 と読んでしまいます。同じ並びが、決め方しだいで 251 にも −5 にもなります。

練習

8ビットの2の補数として、1111 0000 はどの数を表しますか。

小数は、小数点の右も重みで決まる

小数も考え方は同じです。小数点の右へ動くたびに、重みが半分になります。 2進数の 11.01 を10進数にします。

位	2	1	小数点	1/2	1/4
2進数 11.01	1	1	.	0	1
この位が表す数	2	1	点の位置	0	0.25

2 ＋ 1 ＋ 0 ＋ 0.25 ＝ 3.25

小数点の右は 1/2、1/4、1/8 と、半分ずつ小さくなっていきます。

先に、ひとつ予想してみましょう

2進数の 1011.01 は、10進数でいくつですか。

ここで問題になるのが、小数点をどこに置くかです。置き方が2つあり、どちらも点そのものは記録しません。

表し方	小数点の位置の決め方	向いている場面
固定小数点数	「下位4ビットは小数部」のように先に決めておく。並びの中に点は持たない	扱う桁数が決まっている計算。金額など
浮動小数点数	数字の並びと、点を動かす量を別々に持つ	けた違いに大きい数・小さい数も同じ形で扱いたいとき

浮動小数点数では、数字の並びを仮数、点を動かす量を指数といいます。 10進数で 3,200 を 3.2×10³ と書くのと同じで、仮数が 3.2、指数が 3 にあたります。2進数では 仮数 × 2 の指数乗 です。ビット数を多く使って精度を上げたものを倍精度（一般に64ビット）、少ないほうを単精度（同32ビット）と呼びます。

⚠️ 10進数を1桁ずつ4ビットの2進数で持つ表し方もあります。BCD（2進化10進）で、これを詰めて格納したものがパック10進数です。金額のように10進数のまま扱いたい場面で使われます。