集合と論理演算｜AND・OR・XOR とド・モルガンの法則【基本情報技術者試験 科目A】

科目A 第1章 基礎理論1-4　集合と論理演算最終更新 2026-09-25

「両方に当てはまる」「どちらかに当てはまる」「当てはまらない」。 この3つを図で表したものが集合、式で表したものが論理演算です。 中身は同じことなので、片方で分かればもう片方も分かります。 この回では、その対応から始めて、真理値表の埋め方とド・モルガンの法則まで進みます。

集合のことばと、論理のことばは対応している

会員名簿で考えます。A ＝ メールを登録した人、B ＝ 電話番号を登録した人とします。 この2つを円で描いたものがベン図です。

外の四角が名簿全体、左の円 A がメールを登録した人、右の円 B が電話を登録した人。重なった部分が積集合、2つの円を合わせた部分が和集合、円の外側（四角の中）が補集合です。

集合は「人の集まり」、論理は「当てはまるかどうか」を言っているだけで、指しているものは同じです。 ベン図で2つの円が重なった部分が積集合で、論理では「A かつ B」＝ AND にあたります。

ここで、ある1人について「A に入っているか」と問うと、答えは入っている（真）か 入っていない（偽）のどちらかに決まります。 このように真か偽かが決まる文を命題といいます。 次の節から出てくる 1 と 0 は、この真と偽のことです。

⚠️ 部分集合は、片方がもう片方にすっぽり入っている関係です。 「メールを登録した人は、全員が電話番号も登録している」なら、A は B の部分集合です。 このとき A ∩ B は A そのものになります。

真理値表 ── 起こりうる組み合わせを全部並べる

A と B が、それぞれ真（1）か偽（0）の2通りなので、組み合わせは 2×2 ＝ 4通りです。 その4通りを全部書き出したものが真理値表です。

ここで押さえるのは XOR（排他的論理和）です。OR とは最後の行だけが違います。 XOR は「どちらか一方だけが 1」のときに 1 で、両方 1 なら 0 です。 「違っていれば 1、同じなら 0」と覚えると、あとの計算で迷いません。

⚠️ 否定を付けた NAND（否定論理積）と NOR（否定論理和）もあります。 AND・OR の結果を、そのままひっくり返したものです。 たとえば NAND は、A＝1・B＝1 のときだけ 0 で、あとは 1 になります。NOR は、A＝0・B＝0 のときだけ 1 です。

ビットごとの論理演算

2進数どうしの論理演算は、同じ位置の桁だけを見て、上の4通りのとおりに決めます。 ここで扱っているのは数の大きさではなく、0 と 1 の並びです。

A        1100 1010
B        1010 0110
         ─────
AND      1000 0010   ← A と B が両方 1 の桁だけ 1
OR       1110 1110   ← A と B のどちらかが 1 なら 1
XOR      0110 1100   ← A と B が違う桁だけ 1

桁ごとに独立して計算します。繰り上がりはありません（足し算ではないため）。

XOR は「2つの並びのどこが違うか」を取り出す演算です。 同じ値どうしの XOR は、すべての桁が 0 になります。

ド・モルガンの法則 ── 否定を中に入れると、AND と OR が入れ替わる

「メールも電話も登録していない人」を、式で書いてみます。 NOT(A OR B)、つまり「A か B のどちらかに入っている、ということはない」です。 これは、否定を中に入れた形でも書けます。

答え合わせです。次の2つがド・モルガンの法則で、どちらも同じ人の集まりを指します。

NOT(A AND B)  =  (NOT A) OR  (NOT B)
NOT(A OR  B)  =  (NOT A) AND (NOT B)

否定を中に入れると、AND と OR が入れ替わります。

上の式を言葉にすると、「両方に当てはまる、ということはない」＝「少なくとも一方には当てはまらない」です。 下の式なら、「どちらかに当てはまる、ということはない」＝「両方とも当てはまらない」になります。

ほかにも基本法則があります。分配則は、A AND (B OR C) ＝ (A AND B) OR (A AND C) のように、かっこの外の演算を中の1つずつに配る形です。算数の分配法則と同じ形をしています。

まとめ

次に読む