離散数学（2進数・基数変換・集合・論理演算）｜位の重み・ベン図・真理値表【ITパスポート】

ITパスポート 現行の範囲 テクノロジ系g33　離散数学最終更新 2026-10-20

コンピュータは、電気が流れる・流れないのような2つの状態だけで数や文字を表すので、数を0と1だけで書く2進数が基本になります。

2進数の表し方と位の重み

ふだん使う10進数は、0〜9の10種類の数字を使い、左へ1桁進むごとに位が10倍（1の位・10の位・100の位…）になります。 2進数は0と1の2種類だけを使い、左へ1桁進むごとに位が2倍（1の位・2の位・4の位・8の位…）になります。 この「何種類の数字で、何倍ずつ位が上がるか」の数を基数といい、10進数の基数は10、2進数の基数は2です。 2進数の1桁をビットと呼びます。

位の大きさを重みといいます。右端の桁を1番目と数えると、i 番目の桁の重みは 2 の (i－1) 乗です（1番目は2の0乗＝1、2番目は2の1乗＝2、3番目は2の2乗＝4）。 2進数の値は、各桁の「値×重み」をすべて足したものです。

2進数 1101 を10進数に直す
1×8 ＋ 1×4 ＋ 0×2 ＋ 1×1
＝ 8 ＋ 4 ＋ 0 ＋ 1
＝ 13

同じ計算を、合計を0から始めて、右端の桁から1つずつ「桁の値×その桁の重み」を足し込んでいく手順でも行えます。プログラムで変換するときはこの形になります。

1101 を右端の桁から順に足し込む（合計の初めは0）
1番目の桁 1、重み 2の0乗＝1 → 合計 0＋1×1＝1
2番目の桁 0、重み 2の1乗＝2 → 合計 1＋0×2＝1
3番目の桁 1、重み 2の2乗＝4 → 合計 1＋1×4＝5
4番目の桁 1、重み 2の3乗＝8 → 合計 5＋1×8＝13

桁数（ビット数）が決まると、表せる数の範囲も決まります。1ビットは0か1の2通りで、ビットが1つ増えるごとに組合せは2倍になるので、n ビットで 2 の n 乗通りです。 0から数えるので、表せる最大の数は 2 の n 乗－1 です。

3ビット：2の3乗＝8通り → 000〜111 ＝ 0〜7
8ビット：2の8乗＝256通り → 0〜255

8ビットを1バイトと呼びます（バイトとビットの換算は 16-2 データ通信と制御）。

基数変換（10進数・2進数・16進数）

ある基数で書いた数を、別の基数の書き方に直すことを基数変換といいます。2進数から10進数へは、前の節のとおり「値×重み」を足します。 逆に10進数から2進数へは、商が0になるまで2で割り続け、余りを下から順に並べます。

10進数 22 を2進数に直す
22÷2＝11 余り0
11÷2＝5 余り1
5÷2＝2 余り1
2÷2＝1 余り0
1÷2＝0 余り1
余りを下から読む → 10110
検算：16＋4＋2＝22

最初の割り算の余りが1の位、最後の割り算の余りがいちばん上の桁です。だから下から読みます。

2進数は桁が長くなるので、人が読み書きするときは16進数もよく使います。16進数は0〜9に続けて A〜F を使い、A＝10、B＝11、C＝12、D＝13、E＝14、F＝15 を表します。 2進数4桁（0000〜1111）は0〜15の16通りなので、2進数を右から4桁ずつ区切ると、1区切りが16進数の1桁になります。

2進数 10110110 を16進数に直す
右から4桁ずつ区切る → 1011 と 0110
1011 ＝ 8＋2＋1 ＝ 11 → B
0110 ＝ 4＋2 ＝ 6 → 6
答え：B6
検算：B6 ＝ 11×16 ＋ 6×1 ＝ 176＋6 ＝ 182
10110110 ＝ 128＋32＋16＋4＋2 ＝ 182

16進数の重みは、右から1・16・256…と16倍ずつ上がります。

2進数の足し算と引き算

2進数の足し算も、10進数と同じく右の桁から順に行います。違うのは、桁の合計が2になった時点で繰り上がることです。1＋1 は10進数の2で、2進数では 10 と書きます。

1011 ＋ 0111 を計算する（1011＝11、0111＝7）
1の位：1＋1＝2 → この桁0、上へ1
2の位：1＋1＋繰り上がり1＝3 → この桁1、上へ1
4の位：0＋1＋繰り上がり1＝2 → この桁0、上へ1
8の位：1＋0＋繰り上がり1＝2 → この桁0、上へ1
16の位：繰り上がり1 → 1
答え：10010
検算：16＋2＝18、11＋7＝18

4桁どうしを足しても、答えが5桁になることがあります。

3通りは、桁の合計を2で割った商と余りと見ることもできます。商が上の桁への繰り上がり、余りがこの桁に残る値です（合計3なら 3÷2＝1 余り1 で、この桁は1、繰り上がりは1）。 10進数で桁の合計が10以上になると繰り上がるのと同じしくみで、2進数では境目が2になるだけです。 表計算ソフトで足し算を組むときも、1つのセルに1桁を受け持たせ、その桁の合計が3通りのどれにあたるかで表示する値を分けます（合計や IF などの関数の書き方は 13-2 デジタルツールの活用）。

引き算では、引けない桁は1つ上の桁から1を借ります。上の桁の1は、1つ下の桁では2にあたります。

1101 － 0110 を計算する（1101＝13、0110＝6）
1の位：1－0＝1
2の位：0－1 は引けない → 4の位から1を借りて2にする → 2－1＝1
4の位：貸したので1→0。0－1 は引けない → 8の位から借りて2にする → 2－1＝1
8の位：貸したので1→0。0－0＝0
答え：0111
検算：4＋2＋1＝7、13－6＝7

集合とベン図

集合は、「英語を話せる社員」のように、条件に当てはまるものの集まりです。 「12は3の倍数である」のように、正しい（真）か誤り（偽）かがはっきり決まる文を命題といいます。 ある社員が「英語を話せる」という命題が真になる社員を集めたものが、英語を話せる社員の集合です。 集合どうしの関係は、円を重ねたベン図で描くと一目で分かります。

数を数えるときに気をつけたいのは、重なりの部分です。A と B の数をそのまま足すと、両方に入るものを2回数えてしまいます。 和集合の数は、A の数＋B の数から、重なり（積集合）の数を1回引いて求めます。

社員100人。英語を話せる40人、中国語を話せる25人、両方を話せる10人
どちらかを話せる（和集合）：40＋25－10＝55人
どちらも話せない（和集合の補集合）：100－55＝45人
英語だけを話せる（差集合）：40－10＝30人

表のデータを組み合わせる和・積・差の操作は、17-3 データ操作でも使います。

論理演算と真理値表

「成り立つ（真）」を1、「成り立たない（偽）」を0で表し、条件どうしを組み合わせる計算を論理演算といいます。 基本は次の4つです。

入力のすべての組み合わせについて結果を並べた表を真理値表といいます。2つの入力なら組み合わせは4通りです。 OR と XOR は、両方が1の行だけが違います（OR は1、XOR は0）。

A B | AND OR XOR
0 0 |  0   0   0
0 1 |  0   1   1
1 0 |  0   1   1
1 1 |  1   1   0

A | NOT A
0 |  1
1 |  0

論理演算は、文書やデータの条件検索でそのまま使います。「東京」を含む文書が50件、「大阪」を含む文書が40件、両方を含む文書が15件あるとき、件数は次のとおりです。

東京 AND 大阪（両方を含む）：15件
東京 OR 大阪（少なくとも一方を含む）：50＋40－15＝75件
東京 AND NOT 大阪（東京を含み、大阪を含まない）：50－15＝35件
東京 XOR 大阪（どちらか一方だけを含む）：75－15＝60件

XOR は、OR の件数から両方を含む件数を引いたものです（50＋40－15×2 と計算しても同じ60件）。

表計算ソフトでも同じ考え方の関数を使います。論理和(条件1, 条件2, …) は条件のうち1つでも成り立てば成り立ち、論理積(条件1, 条件2, …) は全部が成り立つときだけ成り立ちます。条件は3つ以上並べられます。 IF(条件, 成り立つときの値, 成り立たないときの値) と組み合わせると、「AまたはB(またはC)なら◯◯と表示する」という式になります（詳しくは 13-2）。

まとめ

この節で解ける公開問題

令和4〜8年度の公開問題のうち、この節の知識が決め手になる問題は次の3問です。

同じ分野の過去問を続けて解く（基礎理論 22問） →

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出典：IPA「ITパスポート試験 シラバス Ver6.5」、IPA「試験で使用する情報技術に関する用語・プログラム言語など Ver.5.1」別紙3「表計算ソフトの機能・用語（ITパスポート試験用）」。 練習問題は当サイトが説明のために作ったものです。